mintavétel a normál eloszlásból a Box-Muller transzformáció segítségével

augusztus 14, 2021Articles

Adatvédelem & cookie-k

ez az oldal cookie-kat használ. A folytatással elfogadja azok használatát. Tudj meg többet, beleértve a cookie-k kezelésének módját is.

Megvan!

reklámok

a normál eloszlás sok általános statisztikai elemzés munkalovasa, és sok statisztikai/gépi tanulási algoritmus középpontjában az áll, hogy ebből az eloszlásból mintákat lehet venni. Számos módszert fejlesztettek ki a normál eloszlásból történő mintavételre, beleértve az inverz transzformációs mintavételt, a Zikkurat algoritmust és a Ratio módszert (elutasítási mintavételi technika). Ebben a bejegyzésben egy elegáns módszerre fogunk összpontosítani, az úgynevezett Box-Muller transzformációra.

a derékszögű és polárkoordináták gyors áttekintése.

mielőtt a Box-Muller transzformáció használatáról beszélhetnénk, frissítsük fel a derékszögű és a polárkoordináták közötti kapcsolat megértését. A geometriából emlékezhetünk arra, hogy ha x és y a derékszögű sík két pontja, akkor polárkoordinátákban ábrázolhatók $r$ sugárral és $\theta$ szöggel a következő összefüggések felhasználásával:

$r^2 = x^2 + y^2$

$\tan (\theta) = \ frac{y}{x}$ , ezért

$x = r \ cos (\theta)$

$y = r\sin (\theta)$

figyeljük meg, hogy ha $r \leq 1$ és $\theta \in$ , akkor feltérképezzük az egységkörben található értékeket, az alábbi ábrán látható módon. Vegye figyelembe azt is, hogy egy ilyen körben véletlen változók generálhatók az egyenletes eloszlásból vett értékek átalakításával. Pontosabban, a sugarak $r \sim Unif(0,1)$ , a szögek pedig $\theta \sim 2\pi \szorosak Unif(0,1)$ . Hasonló mechanizmus (azaz pontok rajzolása egy körben egységes változók felhasználásával) áll a Box-Muller transzformáció középpontjában a normál véletlen változók mintavételezéséhez.

példa a derékszögű és a polárkoordináták közötti kapcsolatra

normál eloszlású minták rajzolása A Box-Muller transzformációval

Ok, most, hogy megvitattuk, hogyan ábrázolják a derékszögű koordinátákat a polárkoordinátákban, térjünk át arra, hogyan használhatjuk ezt a kapcsolatot véletlen változók generálására. A Box – Muller mintavétel két független standard normál véletlen derékszögű változó közös eloszlásának ábrázolásán alapul $X$ és $Y$

$x \sim N(0,1)$

$Y \ sim N(0,1)$

polárkoordinátákban. A közös Eloszlás $p (x, y)$ (ami körszimmetrikus) az:

$p (x, y) = p (x)p (y) = \ frac{1} {\sqrt{2 \ pi}}e^{- \frac{x^2}{2}} \ frac{1} {\sqrt{2 \ pi}}e^{- \frac{y^2}{2}}$

$= \frac{1}{2 \ pi}e^{- \frac{x^2 + y^2}{2}}$

ha észrevesszük, hogy a kitevő számlálójában a $x^2 + y^2$ kifejezés egyenlő $r^2$ (mint fent), akkor kapcsolatot létesíthetünk a közös normál eloszlás derékszögű ábrázolása és annak poláris ábrázolása között:

$p (x, y) = \ bal (\frac{1}{2 \ pi} \ Jobb) \ Bal (e^{\frac {- r^2}{2}} \jobb )$

ami két sűrűségfüggvény szorzata, egy exponenciális eloszlás a négyzet sugara felett:

$r^2 \ sim Exp (\frac{1}{2})$

a szögek közötti egyenletes eloszlás:

$\theta \ sim Unif (0,2 \ pi)$

csakúgy, mint a fent említettek, amikor pontokat generálnak az egységkörön. Most, ha egy másik kapcsolatot hozunk létre az exponenciális eloszlás és az egyenletes eloszlás között, nevezetesen, hogy:

$Felh. (\lambda) = \frac {- \log (Unif(0,1))} {\lambda}$

akkor $r \ sim \ sqrt{-2\log (Unif(0,1))}$

ez lehetővé teszi számunkra, hogy pontokat generáljunk a közös Gauss-eloszlásból két független egyenletes eloszlásból, az egyik $r$ , a másik $\theta$ – ből, és ezeket a fenti összefüggéseken keresztül derékszögű koordinátákká alakítsuk át. Részletesen az eljárás a következő:

húzás, $u_1 ,u_2 \ sim Unif(0,1)$
Alakítsa át a változókat sugár – és szögábrázolássá $r = \ sqrt{-2\log (u_1)}$ , és $\ theta = 2 \ pi u_2$
Alakítsa át a sugarat és a szöget derékszögű koordinátákká: $x = r \ cos (\theta), y = r \ sin (\theta)$

két független normál véletlen változó, $X$ és $Y$ . Az alábbiakban bemutatjuk a Box-Muller algoritmus Matlab megvalósítását:

% NORMAL SAMPLES USING BOX-MUELLER METHOD% DRAW SAMPLES FROM PROPOSAL DISTRIBUTIONu = rand(2,100000);r = sqrt(-2*log(u(1,:)));theta = 2*pi*u(2,:);x = r.*cos(theta);y = r.*sin(theta);% DISPLAY BOX-MULLER SAMPLESfigure% X SAMPLESsubplot(121);hist(x,100);colormap hot;axis squaretitle(sprintf('Box-Muller Samples Y\n Mean = %1.2f\n Variance = %1.2f\n Kurtosis = %1.2f',mean(x),var(x),3-kurtosis(x)))xlim()% Y SAMPLESsubplot(122);hist(y,100);colormap hot;axis squaretitle(sprintf('Box-Muller Samples X\n Mean = %1.2f\n Variance = %1.2f\n Kurtosis = %1.2f',mean(y),var(y),3-kurtosis(y)))xlim()

Box – Muller minták normál eloszláshoz

csomagolás

a MATLAB kód kimenete fent látható. Figyeljük meg, hogy a generált minták első, második és negyedik központi momentuma (átlag, variancia és kurtózis) összhangban van a standard normállal. A Box-Muller-transzformáció egy másik példa arra, hogy a (0,1) intervallumon lévő változókat hogyan lehet átalakítani annak érdekében, hogy mintát vegyenek egy bonyolultabb eloszlásból.

hirdetések

mintavétel a normál eloszlásból a Box-Muller transzformáció segítségével

Adatvédelem & cookie-k

a derékszögű és polárkoordináták gyors áttekintése.

normál eloszlású minták rajzolása A Box-Muller transzformációval

csomagolás

Write a Reply or Comment Kilépés a válaszból

Legutóbbi bejegyzések